本课程是MITx在线数学课之一，是系列课程XSeries in 18.03x Differential Equations的第一个，也是学习后续高阶课的必修基础课，名为Introduction to Differential Equation 代号18.031x。整个系列未看到中文版。课程由来自麻省理工、普林斯顿等大学的多位教授、研究人员设计制作, 是一套非常棒的课程，内容丰满、制作精良。18.031x共有五个单元。本系列博客是经过我自己翻译后的中文笔记。
$$ \Large Unit\ 2: Complex\ Exponentials\ and\ ODEs $$
lecture 3 Introduction to Complex Numbers
$ z=a+bi $， z的实部是a，z的虚部是b。关于z的基本性质有：
$$ Re\ z=\frac{z+\overline{z}}{2}, \ Im\ z=\frac{z-\overline{z}}{2i} $$
$$ \overline{\overline{z}}=z, \ z\overline{z}=|z|^2 $$
极坐标形式
$ a+bi=(rcos\theta)+(rsin\theta)i=r(cos\theta+isin\theta)$
$ r=|z| $
在工程领域，r=1的复数常写成$ e^{i\theta} $, 即欧拉公式：
$$ e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta) $$
【注意】 $ e^{i0}=cos(0)+isin(0)=1 $
指数微分
$$ y=e^{ax}, \ \ \ \frac{dy}{dx}=ay $$
$\ e^{it} $ 同样满足这一规律, $\frac{d}{dt}e^{it}=ie^{it} $ （下面欧拉公式部分有证明过程）。
把复数写成e指数的形式有很多好处，尤其在计算上变得很方便：
lecture 4 The Complex Exponential Function
复指数的定义方式之一：根据上面指数微分的规律，复指数函数$e^{zt}$是$y'=ay$这类微分方程的一个解。
$$ \frac{d}{dt}e^{zt}=z e^{zt},\ e^{z0}=1,\ \ \ z为复数，t为实变量 $$
复指数的运动轨迹
EXAMPLE
考查$ e^{(-5-2i)t}=e^{-5t}e^{i(-2t)} $，当t趋向无穷时，曲线上的点的运动轨迹是顺时针螺旋向内的。
当t趋向无穷时，复指数的模$|e^{-5t}|$趋向零，所以运动点向内走。
argument角度为$-2t$, 是下降趋势，所以运动点是顺时针方向。
复数的n次方根
EXAMPLE
求$z^5=-32$的复数解。
将z表示为$re^{i\theta}$的形式：
$$ (re^{i\theta})^5=32e^{i\pi} $$
$ r^5=32,\ 5\theta=\pi+2\pi k $
因此，$ z= 2e^{i\frac{1}{5}(\pi+2\pi k)} $
k取0～4，就是五个复数解，从极坐标上看就是从$\frac{\pi}{5}$ 开始旋转，每次转$\frac{2\pi}{5}$所得的五个角度。
复数值函数 complex-valued function
复数值函数可以表示为： $y(t)=f(t)+ig(t) $ ，t为实自变量，其中的$f(t)$和$g(t)$均为关于t的实数值函数。(这一形式显然是在为复指数做准备，因为等式右边正是欧拉公式右边的pattern) 显然，$f(t)$是这个函数的“实部”，$g(t)$则是其“虚部”，可以表示为：
$$ f(t)=Re\ y(t), \ \ g(t)=Im\ y(t) $$
它的微分和积分，都可以按照实部和虚部分开计算：
$$ y'(t)=f'(t)+ig'(t), \ \ \ \int{y(t)}=\int{f(t)}+i\int{g(t)} $$
EXAMPLE
$ y=\frac{2+3i}{1+it} $ , 利用共轭将分母有理化并整理成 $y(t)=f(t)+ig(t)$ 的形式，从而就可以得到y的实部与虚部：
复数值函数的基本属性
指数 $e^t$ 的基本属性同样适用于复指数 $e^z$ (z is complex number) 。
证明这条辅助定理：对于任意复数 $\alpha,\beta$ , $e^{\alpha t}e^{\beta t}=e^{(\alpha + \beta)t} $ .
要证明这两个函数相等，也就是说证明这两个函数实为一个函数。前面对复指数有一个基于微分的定义：复指数函数$e^{zt}$是$y'=ay$这类微分方程的一个解。 并且在给出特定初始值的情况下，微分方程有且仅有一个解。因此，用以下思路来证明：
证明 $e^{\alpha t}e^{\beta t} \ 和\ e^{(\alpha + \beta)t} $ 都是 $ y'=(\alpha + \beta)y, \ \ y(0)=1 $ 的解，由于解的唯一性，这两个复指数函数必为同一个函数。
$ e^{(\alpha + \beta)t} $ 这个函数的形式完全符合上面的微分方程，同时也满足初值，因此可以直接判定它是这个微分方程的解。另一个复指数求其导函数并代入初始值：
$$ y'=(\alpha e^{\alpha t})e^{\beta t}+e^{\alpha t} (\beta e^{\beta t})=(\alpha + \beta)e^{\alpha t}e^{\beta t} =(\alpha + \beta)y $$
代入y(0)结果等于1，符合初始值。同样证明了这个复指数函数是微分方程的解。由于解的唯一性，两个复指数函数必为同一个函数。
欧拉公式
利用复指数的定义和微分方程证明欧拉公式 $ e^{it}=cost+isint $ :
根据复指数的基本定义，$ e^{it} $ 是 $ y'=iy, \ y(0)=1 $ 的解，等式左边无需再证明。接下来对等式右边求导：
$$ \frac{d}{dt}cost+isint=-sint+icost=i(isint+cost) $$
表面$cost+isint$也是 $ y'=iy, \ y(0)=1 $ 的解，根据唯一解理论，二者相等。
$ e^{it} $ 的运动轨迹
随着t增大，复数$ e^{it} $ 会朝着逆时针方向运动，其运动轨迹正是单位圆的圆周。
复指数常用等式
$$ e^{a+bi}=e^{a}cosb+isinb, \ \ \ (a,b为任意实数) $$
$$ e^{-it}=cost-isint=\overline{e^{it}} \ \ \ (t为任意实数) $$
$$ |e^{it}|=1 \ \ \ (t为任意实数)$$
复平面极坐标
非零复数 $z=x+yi$ ,
$$ x+yi=(rcos\theta)+(rsin\theta)i=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} $$
$re^{i\theta}$ 被称为复数z的极坐标形式，$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ .
$\theta$ 被称为复数z的幅角。$\theta=Arg z=arctan(y/x)$
旋转笑脸
EXAMPLE
把一个复平面中的笑脸乘以3i（即笑脸图中的每个点都乘以3i)后会怎样？
既然是做乘法，就要考虑极坐标形式。$ i=e^{i\pi/2},\ (i=0+1i,可知\ r=1, \theta=\pi/2) $ 。乘以一个i就意味着逆时针（正向）旋转90度，为什么是90度？这就是极坐标形式的优点，极坐标明确而直接地告诉我们这个复数的argument就是$\pi/2$ . 而乘以一个常数则意味着简单的伸缩（dilate），这道题是乘以3，所以每一点的坐标值都乘以3，相当于拉伸为原来的3倍。比如鼻子那个点，原来是在接近（2，0）的位置，它被乘以3i之后，就到了差不多接近（0，6i）的位置。
如果把它看作一个（类似向量性质的）复数，这家伙的模本来是差不多2，现在的模就是差不多6.
复指数函数e^(a+bi)t
非常重要的函数 $\Large e^{(a+bi)t}$ , 将函数可视化且支持互动的在线工具：复指数函数互动工具
随着t增大，$(a+bi)t$会沿着一条过零点的直线运动，而 $e^{(a+bi)t}$ 上的点可能是沿着某一段直线、或者圆、或者螺旋线运动，取决于a和b的值。
example
考察函数 $e^{(-5-2i)t}$ 当t趋向正无穷，函数的运动轨迹。
将函数整理为标准的极坐标形式： $e^{(-5-2i)t}=e^{-5t}e^{i(-2t)} $，可见模（绝对值）为 $e^{-5t}$ ，随着t增大，模将趋向零；从 $e^{i(-2t)} $ 可知，复数的幅角为-2t，随着t增大，幅角是逐渐降低的，也就是反向旋转（顺时针）。因此这个函数的运动轨迹是顺时针螺旋向内。
e^it, e^-it作为cos与sin的线性组合
$e^z$ 这种形式往往有更好用的计算属性，所用常用来替代cos、sin，反过来，cos、sin也可视作复指数的实部与虚部。
$$ e^{it}=cost+isint, \ \ \ e^{-it}=cost-isint $$
$$ cost=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}, \ \ \ sint=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i} $$
很多时候，自变量不是直接的t，而是$\omega t$：
$$ e^{i\omega t}=cos\omega t+isin\omega t, \ \ \ e^{-i\omega t}=cos\omega t-isin\omega t, \ \ \
cos\omega t=\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}, \ \ \ sin\omega t=\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i} $$
lecture 5 Homogeneous 2nd Order Linear ODEs with Constant Coefficients
弹簧振荡系统 p1
弹簧一端固定在墙上，一端连着一个小车；小车的另一端带动一个阻尼系统。各变量和单位如下：
t：时间（秒）
x：位移（米），x=0为平衡位置，弹簧不施加作用力。
m：小车的重量（kg）
$F_{spring}$: 弹簧作用于小车的力（N）
$F_{dashpot}$：阻尼作用于小车的力（N）
$F_{external}$：外部力（N）（比如人推小车）
t是独立变量，其他是关于t的函数。
从一般的物理常识可知，弹簧的力是关于x的函数，与位移方向相反；阻尼的力是关于速度（$\dot{x}$）的函数。这些关系可以简要的用线性函数来估算。 根据Hooke's law，$ F_{spring}=-kx $；而阻尼作用力 $ F_{dashpot}=-b\dot{x} $, 其中k是弹簧系数，b是阻尼系数, k,b都大于零。根据牛顿第二定律：F = F_spring + F_dashpot + F_external
因此，$ m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}+F_{external} $
于是得到一个二阶线性ODE。有时候写成：$ \large m\ddot{x}+kx+b\dot{x}=F_{external}(t) $ .如果没有外力，等式右边就就等于0。当然这不是标准式，因为第一项系数不为零。这个模型是所有振荡系统的基础模型。
用系统与信号的语言来描述就是，输入：外力；系统：弹簧、阻尼和物块构成的体系；输出：位移x(t).
现在假设一种最简易的情况，m=k=1, 并且没有阻尼和外部作用力，只有一个物块和弹簧：
$$ \ddot{x}+x=0 $$
这个ODE每一个解都对应一个特定的初值情况，反过来，每一种特定初值情况下，有且仅有一个解。观察这个方程，猜测可能的解以及对应的初值。
- $ cos(t) $ 是方程的一个解，且$ x(0)=1, \dot{x}(0)=0 $；
- $ sin(t) $ 是方程的一个解，且$ x(0)=0, \dot{x}(0)=1 $；
- $ cos(t)+sin(t), 3sin(t), 0, -2cos(t) $ 都是可能的解。
cos与sin的任意线性组合，都是原方程的解，表示为：$ c_1cos t+c_2sin t $.
线性齐次ODE叠加性 superposition
对于一个n阶线性齐次微分方程：$ pn(t)y^{(n)}+p{n-1}(t)y^{(n-1)}+...+p_1(t)y'+p_0(t)y=0 $ , 有这样的特征：
- 零函数0是一个解；
- 任意某个解的倍数（乘上一个常数系数）仍是方程的一个解；
- 任意两个解相加能得到另一个方程的解。
总之，$ \large 方程任意解的任意线性组合能得到方程的解。$ 所有这些解最终将构成所谓的“向量空间”。
二阶线性齐次ODE
接续前面的方程的解 $ x(t)=c_1cos t+c_2sin t $ ， 对于任意c1,c2的值，都能得到一个方程的解，实际上这个2参数的函数集表达的正是原微分方程的全部解，因此也称“一般解”。
对于任意一个二阶的线性齐次微分方程，函数集 $ x(t)=c_1x_1(t)+c_2x_2(t) $（其中x_1, x_2分别都是这个二阶DE的解， c_1,c_2可以是任意常数） 是原方程的一般解。
$\large 注意: x_1, x_2$ 必须是线性独立的，不然就等同于一个解了，当然也不能为零。这两个解可以说是构成所有解集合的基本元素。
由此，求解一个二阶线性ODE的问题就简化成了只需要找到两个线性独立的解。
二阶的DE需要一个有2个参数的函数集，这背后是有必然逻辑的，大体上可以理解为，需要进行两次积分，每次都会出现一个任意常数。实际上，n阶的DE就会需要一个有n个参数的函数集。
既然这个函数集有两个未知参数，那么很显然，如果需要明确知道一个特定解，就需要知道两个数据。实际上，一般在初始起点，都会获得两个初值：$ y(0), \dot{y}(0) $, 或者其他某个非零的起点。
比较一阶的线性ODE，作为一般解的函数就只有一个参数，寻求特解时，也只需一个初始值。
特征方程求解
如何求解$ m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0 $ ?
直接带入$x=e^{rt}$ 然后尝试求解r，这是一种基于经验而来的惯用方法，仅限于线性ODE。
$\dot{x}=re^{rt}, \ \ddot{x}=r^2e^{rt} $, 于是，这个ODE就可以写成：
$$ mr^2e^{rt}+bre^{rt}+ke^{rt} =0 $$
提取公因式并除掉永不为零的指数部分，得到：
$$ mr^2+br+k = 0 $$
$ \large mr^2+br+k $ 被称为原ODE的特征多项式, 可记为 $p(r)$，于是 $p(r)=0 $就被称为特征方程。
比如，前面那个简易版的弹簧模型 $ \ddot{x}+x=0 $ ,它的特征方程就是 $r^2+1=0$
一个2次方程的根有可能是两个不同的实数解or复数解，也可能是两个相同的解，这里只关注不同解的情况：
-
一，两个不同的实数解，其一般解就是简单的带有两个系数的线性组合形式：$ c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t} $.
-
二，两个不同的复数解，复数解都是成对出现的，即$r=a\pm bi $，所以一般解表示为：$c_1e^{(a+bi)t}+c_2e^{(a-bi)t}$，这两个共轭复指数构成了“基本解”（解集合空间中的basis）。而对于实系数ODE，复指数（共轭中的任何哪个都一样）的实部和虚部也同样是原ODE的解，并且也是构成解空间的basis。
$$ e^{(a+bi)t}=e^{at}e^{ibt} \Rightarrow Re\ e^{(a+bi)t}= e^{at}cos(bt), \ Im\ e^{(a+bi)t}=e^{at}sin(bt) $$
与复指数解的最大不同就是，这两个解都是实数，同时它们也线性独立，从而构成解空间。
之所以复指数函数的实部与虚部能够成为基本解，正是因为上一节lecture 4最后一部分总结的，复指数本质上就是余弦、正弦的线性组合。
什么时候用实函数？复指数很多时候计算起来是方便的，但在处理现实物理问题时，复数不适用，我们需要的是实函数。
所以，复数解总结为：
$\clubsuit$ IMPORTANT THEOREM: 如果$u+iv$(u和v都是关于t的函数)是某个ODE -- $\ddot{y}+A\dot{y}+By=0 $ 的复函数解，那么u和v，也就是$\large实部和虚部$就分别是我们需要的$\large两个基本实函数解$ （实部和虚部的线性组合就是一般解）。这个理论的前提是$特征方程的系数均为实数$。
实数解例题
$\diamondsuit$ example 求 $ \ddot{y}+5\dot{y}+6y=0 $ 的一般解.
基本方法：$ e^{rt}$ 是一个解（r作为特征方程的根）。
先写出它的特征方程：
$$ p(r)=r^2+5r+6=0=(r+2)(r+3) ,\ \ r=-2, -3 $$
可知，$e^{-2t}, e^{-3t} $ 是两个基本解，因此，这个DE的一般解为：
$$ c_1e^{-2t}+c_2e^{-3t}， \ (c_1,c_2 为任意常数) $$
满足初值 $y(0)=0, \dot{y}(0)=1 $ 的特解是什么？
直接带到一般解式子中，得到：$ c_1+c_2=0, -2c_1-3c_2=1 $ , 得到 $c_1=1, c_2=-1 $ ,因此特解为：$ e^{-2t}-e^{-3t} $ .
$\diamondsuit$ example 求解$ \ddot{x}+5\dot{x}+4x=0 $ .
特征方程为$r^2+5r+4=0 $, 求得$ r=-1, -4$. 一般解可以写成：
$$ x(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-4t} $$
复数解例题
$\diamondsuit$ example 求解$ \ddot{x}+4\dot{x}+5x=0 $ .
特征方程为$r^2+4r+5=0$，用二次方程解的公式求得$r=-2\pm i$, 所以基本解为：
$$ z(t)=e^{(-2+i)t} \ \ ， \ \overline{z}(t)=e^{(-2-i)t} $$
一般解就是这两个基本解的线性组合，但对于系数均为实数的ODE，我们只关注实函数。复指数可以写成$ e^{(-2+i)t}=e^{-2t}cost+ie^{-2t}sint $, 其实部为$e^{-2t}cost$,虚部为$e^{-2t}sint$. 一般解就是这两个基本解的线性组合：
$$ x(t)=c_1 e^{-2t}cost+c_2e^{-2t}sint $$
用z的共轭也可以求，所得结果是一样的。 （用cos、sin所表示的一般解与用复指数表示的一般解是等效的，它们代表了相同的“空间”，后续做验证。）
前面的无阻尼弹簧振荡系统 $ \ddot{x}+x=0 $，按照特征方程求解，可知 $r^2+1=0, r=\pm i $, 因此，它的基本解就可以写成 $e^{it}, e^{-it} $, 对于实际物理问题，我们使用实函数，找到这个复指数的实部和虚部，就可以将一般解写出来：$c_1cost+c_2sint $ . 前面已经知道这两个解，之前是直接尝试将两种三角函数带入原式，发现它们的确是方程的解，而且线性独立，于是可以通过线性组合构成解空间。
总结来说，假设$y(t)$表示复函数(t为实变量)，若$y$和 $\overline{y}$ 是某二阶齐次线性DE(实系数)的基本解，那么其实部和虚部（直接以$Re(y),Im(y)$ 替代$y$和 $\overline{y}$），将构成新的实函数基本解，它们构成的一般解(即所有线性组合)将给出原ODE的全部实解。
弹簧振荡系统 p2
还是之前那个系统，假设物块质量m=1(kg), 弹簧系数k=16(N/m 牛顿/米), 其位移x(t)符合DE：$ \ddot{x}+b\dot{x}+16x=0 ,\ b>0$ ，考察阻尼常数b的值对DE的解的影响。
a 特征方程及求解
-
DE的特征方程是什么？
$r^2+br+16=0$ -
如果特征方程的根是实数且不重复的，b应该取什么样的值？
r的值可以用二次方程解的公式表示出来：$r=-\frac{b}{2}\pm\frac{\sqrt{b^2-64}}{2} $ 决定二次方程根的特征的正是根号下的部分。若要取得实数根且无重复，需要$b^2-64>0$, 同时，已知b>0，所以，需要b>8。 -
在这个区间内的b，x的解(指数形式)可以表示为：
$$ x_1=e^{\frac{-b-\sqrt{b^2-64}}{2}t} , \ \ x_2=e^{\frac{-b+\sqrt{b^2-64}}{2}t} $$
b 初值情况
在符合以上条件的情况下，现给出一个初值情况，t=0时，中间的物体在平衡点右侧1米的位置，同时以$\frac{b}{2}(m/s)$的速度向左移动（设定位移x>0为正向），写出x(t)的表达式。（也就是求系数写出特解）
根据题意，初值情况实际上就是给出了 $x(0)=1 \ 和\ x'(0)=-\frac{b}{2} $
详细计算过程见图：
c 跨越几次平衡点
仍是基于前面的b的条件，方程有两个独立的实函数解的情况。考察物体会跨越平衡点（即x=0）多少次？（换句话说，在哪些可能的时间点，x(t)=0。也就是求x(t)=0时，t的值）
考察$c_1x_1+c_2x_2=0$, 即$ c_1e^{r_1t}=-c_2e^{r_2t} $, c是任意常数，因此可以简单表达为$ e^{r_1t}=ce^{r_2t} $, 假定c>0，式子两边取自然对数，得到$ r_1t=lnc+r_2t \Rightarrow t=\frac{lnc}{r_1-r_2} $. t的这个表达式显然是一个简单的一元线性方程，因此，t只能存在一个特定解，即物体跨越平衡点1次。但这还不是全部的情况。
在使用c这个系数时，是对系数的简化替代，实际上取 $ c=-\frac{c_2}{c_1} $，这里默认$ c_1\neq0 $, 同时还假定c>0, 即$ \frac{c_2}{c_1}<0 $. 现考察其他情况：
-
c>0, 即$ \frac{c_2}{c_1}<0 $
- 当$c_1=0, c_2\neq0, \ x(t)=c_2e^{r_2t} $ 指数恒大于0，所以这里x(t)=0是无解的，也就是不会跨越平衡点。
- 当$c_1\neq0, c_2=0, \ x(t)=c_1e^{r_1t} $ 和上一个同样道理，是无解的。
-
当c<0, 即$ \frac{c_2}{c_1}>0 $
这时，c2和c1的符号相同且都不为零。$ e^{r_1t}=ce^{r_2t} $中， 指数都恒大于0，c又小于0，显然无解，也是不会跨越平衡点。 -
当$c_1=c_2=0$, x(t)=0, 这等于整个系统没有动，物体就待在平衡点，而非“跨越”平衡点，这种情况并不在讨论范围内。
因此，要么跨越0次，要么跨越1次，这覆盖了全部的情况。
d 非实解的情况
- 如果特征方程的根为复数，b的值是多少(b>0)？ 这就意味着根号下的部分小于零，$b^2-64<0$ ，因此b<8.
- 在同样的初值情况下(t=0时，中间的物体在平衡点右侧1米的位置，同时以$\frac{b}{2}(m/s)$的速度向左移动)，且特征方程有两个不同的复函数解，找到满足初值的实函数表达式。
e 振荡周期
考察物体振荡的拟周期表达式$\tau$，一个周期等同于每次物体回归平衡点的间隔时间再乘以2，计算这个$\tau$：
上题已得出下x(t)的表达式$ e^{\frac{-bt}{2}}cos(\frac{\sqrt{64-b^2}}{2}t) $, 已知余弦周期是$2\pi$，所以可以马上找到这个以t为变量的cosine周期，直接用$2\pi$除以t的系数，得到：$\frac{4\pi}{\sqrt{64-b^2}}$. 课程论坛，TA给出了更为落地的朴素解法：
Homework A&B 摘录
Homework A
4-2: 当实数t趋近$+\infin，te^{-3it} $在复平面中的运动轨迹是怎样的？
$ e^{-3it} $是一个极坐标形式的复数，并且$ r=1, \theta=-3t $，所以这个复数沿着单位圆顺时针旋转。乘上一个大于0的实数t，改变了它的模，即$|te^{-3it}|=t $, 所以旋转过程还伴随着辐射半径的增长，因此这个复数的运动轨迹是顺时针向外延展的螺旋。
4-3: 用常数x和y表示$|\frac{1}{e^{x+yi}}|$， 即用x、y表示这个复数的模。
$$ \frac{1}{e^{x+yi}}=e^{-x-yi}=e^{-x}e^{-yi} $$
表示成$re^{i\theta}$的形式后，就一目了然了。e前的系数就是r，也就是模长。所以$ |\frac{1}{e^{x+yi}}|=e^{-x} $
4-6: 计算$(1+i\sqrt{3})^6 $.
乘除运算首先把复数从直角坐标形式转换成极坐标形式。$ r=2,\ \theta=arctan(\sqrt{3})=\pi/3 $, 因此 $1+i\sqrt{3}=2e^{\pi /3} $ ，原式改写为$ r^6e^{i6\theta} $ 的形式，$r^6=64$，$6\theta=2\pi \ \Rightarrow \ 64e^{i2\pi}=64(cos2\pi + isin2\pi )=64 $
Homework B
复指数函数
二阶ODE应用题 厨房门
厨房门可以双向摆动，一旦打开让其晃动，它可以自由地来回摆动，这很危险，因此在门上装了一个阻尼器。阻尼器满足微分方程 $ m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0 $ ，阻尼器参数：m=0.5, b=1.5, k=0.625.
- 这个DE的特征多项式是什么？ $ 0.5r^2+1.5r+0.625 $
- 找到满足初值 $x(0)=x_0, \dot{x}(0)=v_0 $ 的特解。
-
在什么样的初值条件下，方程的解是一个指数$ce^{rt}$而非多个指数相加的形式($x_0, v_0的值或者之间的关系$)?
已知方程的通解是 $c_1x_1+c_2x_2$ 的形式，如果是只有一个指数，也就是只有其中的 $x_1$ 或者 $x_2$，这就意味着，其中一个的系数c为零。(决定系数c是多少的，正是具体的初值情况，这也是上一道题的意义)
上一小题已经得出两个系数用两个初值表达的式子，当 $c_1=0.5v_0+1.25x_0=0 $ 或者 $c_2=-0.5v_0-0.25x_0=0 $ 其中一个为零，就符合本题的情况。计算可得：$ x_0=-0.4v_0, \ \ x_0=-2v_0 $. -
假设 $x_0=0.25$, $v_0$应该是什么样的取值，使得以下描述会发生：当门一旦被松开，它会路过关闭位置（平衡点），然后又从那一边摆动回来。
整个过程从t=0开始，在之后的某一个时间点t，位移为零（平衡位置），即 $x(t)=0 $, 考察系数的取值情况，再根据以初值符号表示的系数的表达式以及给出的初始x值，查看初始速度可能的取值区间。
