本课程是MITx在线数学课之一，是系列课程XSeries in 18.03x Differential Equations的第一个，也是学习后续高阶课的必修基础课，名为Introduction to Differential Equation 代号18.031x。整个系列未看到中文版。课程由来自麻省理工、普林斯顿等大学的多位教授、研究人员设计制作, 是一套非常棒的课程，内容丰满、制作精良。18.031x共有五个单元。本系列博客是经过我自己翻译后的中文笔记。
$$ \Large Unit 3:\ Damped\ Oscillation $$
6 Sinusoidal Functions
角频率
回顾弹簧振荡系统，当阻尼系数b足够小，以致 $b^2-4km<0$时，$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$ 的特征方程会有两个复数根（整理为 $-s\pm i\omega_d $ 的形式）： $$r=\frac{-b\pm i\sqrt{4mk-b^2}}{2m}=-\frac{b}{2m}\pm i\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m} $$
这时，ODE的两组基本解（复函数与实函数）为：
$$ [e^{-st}e^{i\omega_d t}, e^{-st}e^{-i\omega_d t}]; \ \ \ [e^{-st}c_1cos(\omega_dt), e^{-st}c_2sin(\omega_dt)] $$
实函数一般解可以表达为：
$$ x(t)=e^{-\frac{b}{2m}t}(c_1cos(\omega_dt)+c_2sin(\omega_dt)) $$
其中，
$$ \omega_d=\sqrt{\frac{4mk-b^2}{4m^2}}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}} \ \ \ 即“角频率” $$
这个“角频率”在这里称为阻尼频率。比较这个系统与不带阻尼的系统比较：
$m\ddot{x}+kx=0$，实函数一般解为 $x(t)=c_1cos(\omega t)+c_2sin(\omega t) $ 。这时的角频率 $ \omega_d=\sqrt{\frac{k}{m}} $ , 这时的角频率称为“自然频率”，弹簧自由振荡的情况。
Damped Frequency
在spring-mass-dashpot系统中，当特征方程具有复数根时，微分方程的解将包含一个角频率变量，也称为阻尼频率（damped frequency）。
阻尼频率是指系统存在阻尼的情况下的振荡频率。它是由系统的质量、弹性系数和阻尼系数决定的。当阻尼系数较小时，阻尼频率接近于系统的固有频率（无阻尼情况下的频率）。随着阻尼系数的增加，阻尼频率会逐渐减小，直到达到临界阻尼时，阻尼频率最小。当阻尼系数继续增加时，阻尼频率将变为虚数，整个系统不再振荡。
阻尼频率的存在说明了阻尼对系统振荡的影响。它决定了系统振动的速度和衰减程度。当阻尼较小时，系统会以接近固有频率的频率振动，并且振幅会逐渐衰减。当阻尼较大时，系统的振动频率会降低，并且振幅的衰减速度更快。
在没有阻尼的情况下，spring-mass-dashpot系统的振荡将遵循其固有频率，也称为自然频率（natural frequency）。自然频率是系统在没有外部干扰或阻尼的情况下的固有振动频率。
Angular frequency
在物理学中，角频率 "ω"（也称为角速度和角率）是每单位时间内角位移的标量度量——每秒旋转多少弧度，也可以看作是正弦函数的参数每秒变化的速度。它决定了振动或波动的周期和频率之间的关系。
振荡系统和波动系统中，角频率与周期和频率之间有一个关系。我们知道，频率是指在单位时间内重复发生的事件的次数。而周期是指一个完整事件循环所需要的时间。这两者之间存在着以下的关系：
频率 = 1 / 周期，即，频率的倒数就是周期。而角频率则表示单位时间内正弦波的相位变化量，也可以看作是正弦函数的参数每秒变化的速度。这个角频率与频率之间的关系是：
角频率 = 2π × 频率
其中，2π是一个常数，代表一个完整的圆周，相当于一个周期。这样，角频率的单位是弧度/秒。
$$ \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f={\frac {v}{r}}={\frac {ds}{dt}}\cdot {\frac {1}{r}}={\frac {d\theta }{dt}} $$
$\square$
正弦函数极坐标式
正弦函数的两种表示形式之间的转换，可以直接通过三角函数和差公式推导出来。在两种形式中所用到的参数之间的关系为：$ A=\sqrt{a^2+b^2} $, $\phi$ 则表示从零点到(a,b)这个点所形成的这条射线与横轴正向所夹的角。点(a,b)作为直角坐标的话，与之相应的，这个的极坐标就是 $(A,\phi)$ 。 $\phi$ 实际上表达了旋转的起点，也就是所谓初始相位。旋转的起点不一定是0弧度，可能是从 $\phi$ 开始。
example
将 $ -cos(5t)-\sqrt{3}sin(5t) $转换到极坐标形式。
这是典型的直接坐标形式，$a=-1, b=-\sqrt{3}$, 因此 A=2(即上图极坐标中的A，相当于r或者模长)，角度 $\theta =\omega t=5t$，夹角 $\phi$ 可以通过正切值求得。观察这一直角坐标的特征，可知其在第三象限，因此 primary angle $\phi$ 应为 $-\frac{2\pi}{3}$。所以极坐标形式为：
$ Acos(\omega t-\phi)=2cos(5t+\frac{2\pi}{3}) $
正弦型函数的三种表达式及证明
振幅-相位(极坐标)：$Acos(\omega t-\phi)$，这里的常数均为实数；
复数实部：$\large Re(Ce^{i\omega t})$, 这里的C是复数并定义为$ C=a-bi=Ae^{i\theta} $
线性(直角坐标)：$ acos\omega t+bsin\omega t $, a和b均为实数。
这三种形式等同，可直接替换。
$$ Re(Ce^{i\omega t})=Acos(\omega t-\phi)=acos\omega t+bsin\omega t $$
$$ C=a-bi=Ae^{i\theta} $$
证明和推导：
example
将$ 7cos(2t-\pi /2) $转换为复数形式 $ Re(Ce^{i\omega t})$.
已经给出$ A=7, \omega=2, \phi=\pi /2 $， 需要找到一个复数C满足 $ \overline{C}=Ae^{i\phi} $, 已知 $\phi$，所以 $\overline{C}=7e^{i\pi /2}=7i $，因此$ C=-7i $。带回原式，$ Re(Ce^{i\omega t})=Re(-7ie^{i2t})$.
example
将 $ -cos(5t)-\sqrt{3}sin(5t) $转换到振幅-相位形式$Acos(\omega t-\phi)$。
和上面转换极坐标是一模一样的题。给出的显然是线性模式$ acos\omega t+bsin\omega t $，因此可以知道$a=-1,b=-\sqrt{3}, \omega = 5 $, 由此可以直接写出对应的复数形式中的a+bi：
$$ Ae^{i\phi}=a+bi=-1-\sqrt{3}i $$
于是，A=2, $\phi=arctan\sqrt{3}=-2\pi /3 $ (第三象限)。 $Acos(\omega t-\phi)=2cos(5t+2\pi /3) $.
构建正弦函数的曲线
从基础正弦波(参考波形)cosx，经过变化（位移、扩张）得到正弦型函数的标准式：
各变量的几何描述及含义
A: 振幅，图像在横轴上方能达到的最大高度；
t_0 (phase lag): 滞后时间，有时记作$\tau$，指初始阶段达到峰值的时间（因为是以标准正弦波作为参考波，即余弦曲线，余弦曲线在t=0是最大值，与它有相位差的曲线，到达峰值就有了一个“滞后”的时间间隔）；
P: 周期，完成一个完整振荡的时间，图像上体现为两个相邻的相等极值的距离（or宽度）;
t_0 phase lag, P与$\omega,\phi$之间的关联：
$ phase\ lag=\phi / \omega, \ P=2\pi / \omega $
$ (s)=(rad)/(rad/s),\ (s)=(rad)/(rad/s) $
- 直观意义上，$\phi$代表初始阶段的“角度差别”，而除以角速度后，就能得到角度差带来的”时间差“，这正是t_0的定义。
- $P=2\pi / \omega$其实直接表达了周期的含义，试想，在时间上每增加一个P，本质含义就是角度又多旋转了一圈，也就是又往前“行进”了 $2\pi$，除以速度就得到了旋转$2\pi$所用的时间，也就是走完一个周期所用的时间，也就是P本身。
- 由此引申另一个重要的变量关系——频率，频率v是周期P的倒数，所以$\omega=2\pi/P=2\pi v $（有时候用$f$表示）; 直观意义上，频率表示单位内完成的周期个数，而一个周期就意味着旋转了一个$2\pi$, 因此频率乘以$2\pi$，就得到了单位时间内旋转的全部角度，而这正是角速度的定义（当然单位是弧度，也属于“无单位”），因此$\omega=2\pi v $。
滞后【相位】与滞后【时间】
$\phi$ 与 $t_0$ phase lag都用来衡量正弦型函数$Acos(\omega t-\phi)$相比于参考波形$cos(\omega t)$ 的偏移程度。但显然t表达的是时间，$\phi$以角度(弧度)来衡量偏移程度，这个初始角度也表达了一个周期的多少【分量】 被偏移了（相比于参考波形）。比如，$\phi=\pi$ 那就意味着偏移了半个周期，这将导致与原参考函数刚好异相，峰值对峰谷。比如 $f(t)=Acos(\omega t-\pi /2) $, 马上就可以知道，是向右移动了1/4个周期。
与之对应的，滞后时间是多少呢？这就得取决于正弦频率了，或者，周期长度。如果它的角频率非常高，那半个周期就会是很短的一点时间。二者之间的转换就取决于角频率：$\large t_0=\phi / \omega $.
按照这种关系，滞后时间也可以很快算出来，因为:
$$ f(t)=Acos(\omega t-\phi)=Acos(\omega (t-t_0)) $$
sinusoidal functions 习题
$$ 考察函数\ \ \frac{e^{i\omega t}}{2+3i} $$
a. 分别写出这个函数极坐标式和直角坐标式下的实部。
【极坐标式】
分子已经是极坐标的形式，分母是标准的复数形式，可以马上计算出$r=\sqrt{13}, tan\phi = 3/2 $,原式可以表示成：
$$ \frac{e^{i\omega t}}{\sqrt{13}e^{i\phi}}=\frac{1}{\sqrt{13}}e^{i(\omega t-\phi)} $$
写成标准的极坐标形式后，可以用欧拉公式马上写出实部的表达式：
$$ Re\lbrace \frac{1}{\sqrt{13}}e^{i(\omega t-\phi)}\rbrace = \frac{1}{\sqrt{13}}cos(\omega t-\phi) $$
其中，$ \phi=arctan(3/2) $
【直角坐标式】
分子可以利用欧拉公式直接改写成cos+isin的形式；分母利用共轭，将虚部cancel掉。
$$ \frac{cos(\omega t)+isin(\omega t)}{2+3i}= \frac{1}{13}(cos(\omega t)+isin(\omega t))(2-3i) $$
将实部分离出来：
$$ \frac{1}{13}(2cos\omega t+3sin\omega t) $$
b. 写出其角频率(circular frequency)、振幅(amplitude)和滞后相位(phase lag)
$$ circ.freq = \omega, \ amp=\frac{1}{\sqrt{13}}, \ phase.lag=\phi=arctan(3/2) $$
ODE习题
[in DE notes Problem 11.9]
找到这个方程的一般解：$ y^{(6)} + 6y^{(5)} + 9y^{(4)} = 0 $
写出特征方程并求解。 $ r^6+6r^5+9r^4=r^4(r^2+6r+9)=r^4(r+3)^2=0 $
方程是6次的，因此有6个根，这个特征方程 r=0, 0, 0, 0, -3, -3. 非全部独立的根也导致原DE的解将够不成完整维度的一般解。$ e^{0t}, e^{0t}, e^{0t}, e^{0t}, e^{-3t}, e^{-3t} $ . 带有重复解的情况（r, r)，DE的基本解应为 $ Span(e^{rt}, te^{rt}) $ . 上面六个解替换为：
$$ e^{0t}, te^{0t}, t^2 e^{0t}, t^3 e^{0t}, e^{-3t}, te^{-3t} \ \Rightarrow \ 1, t,t^2,t^3,e^{-3t}, te^{-3t} $$
因此，一般解可以表示为：
$$ c_1+c_2t+c_3t^2+c_4t^3+c_5e^{-3t}+c_6te^{-3t} $$
[in DE notes Problem 11.10]
找到一个最简常系数齐次线性ODE，使得 $ (5t+7)e^{-t}-9e^{2t} $ 是它的一个解。
$ (5t+7)e^{-t}-9e^{2t}=5te^{-t}+7e^{-t}-9e^{2t} $ , 可以看出来，这个解是 $e^{-t}，te^{-t}，e^{2t}$ 的线性组合，并且可以得知原ODE的特征方程的根一定是-1, -1, 2。因此可以写出特征多项式：$ (r+1)(r+1)(r-2)=r^3-3r-2 $ 。
因此原ODE为：
$$ y^{(3)}-3\dot{y}-2y=0 $$
[in DE notes Problem 11.11]
找到这个方程的实函数基本解：$ y^{3}+3\ddot{y}+9\dot{y}-13y=0 $
首先计算特征方程的根。观察 $r^3+3r^2+9r-13=0 $，1是其中一个根。因此，$(r-1)$ 会是一个因式。运用long division，找到其他因式并计算其他的根。
复数根的情况，直接用复数的实部和虚部替代一对共轭复数，得到实函数解：
$$ e^t，e^{-2t}cos(3t)，e^{-2t}sin(3t) $$
振荡系统
无阻尼（简谐振荡）
一个质量为1kg的物体被系到弹簧上，弹簧系数为$\pi^2 N/m $, 它被拉到平衡点左侧1米的地方，然后被释放，受到$\pi\ m/s $的向右的力。
$\bullet $ 写出被释放t秒后，物体的位置x(t)，使用振幅-相位的形式。默认振幅、角速度均大于零。
根据胡克定律和牛顿第二定律，弹簧的力与其伸长或压缩的距离成正比。力的方向与伸长或压缩的方向相反。根据这个定律，我们可以得到以下微分方程：$ m\ddot{x}=-kx \ \Rightarrow m\ddot{x}+kx=0 $ . 已知 $m=1, k=\pi^2 $ , 所以特征方程为 $ r^2+\pi^2=0 $，得到特征方程的根是 $\pm i\pi $， 因此，实函数解可以写成：$$ x(t)=c_1cos(\pi t)+c_2sin(\pi t) $$
根据题意，$x(0)=-1， \dot{x}(0)=\pi $，有两个初始值就可以计算特解。代入一般解式子中，计算出 $ c_1=-1， c_2=1， x(t)=-cos(\pi t)+sin(\pi t) $ 。
由此可以转换为极坐标形式，$A=\sqrt{2}， tan\phi =-1, \phi = 3\pi /4 $ （第二象限）：
$$ x(t)=\sqrt{2}cos(\pi t-\frac{3\pi}{4}) $$
$\bullet $ 写出这个系统的周期P，频率v，滞后时间t_0
$ P=\frac{2\pi}{\omega} \left( \frac{rad}{rad/sec} \right )=2(sec)$. 既然角速度是$\pi$，即每秒钟转半圈，那周期当然就是2秒，因为周期的定义就是转一圈($2\pi$)的时间；
频率是周期的倒数，v=1/2 hertz
“滞后时间”time lag t_0指的是cos(wt)被平移$\phi$所耗费的时间，
$cos(\omega (t-t_0))=cos(\omega t-\phi) \Rightarrow t_0=\frac{\phi}{\omega}=3/4 $.
带阻尼的
带阻尼系统的解与无阻尼系统 (阻尼系数b小到出现复数解) 的解的主要差别是多了一个指数因子：
$$ y=e^{-\frac{b}{2m}t}(c_1cos(\omega_dt)+c_2sin(\omega_dt)) $$
也就是本单元开头部分所写的一般解。把它写成极坐标形式（即振幅-相位形式）：
$$ e^{\frac{-b}{2m}t}Acos(\omega_dt-\phi) $$
余弦函数是在1和-1之间振荡，所以y应该在$Ae^{\frac{-b}{2m}t}, \ -Ae^{\frac{-b}{2m}t} $之间振荡。
在unit 2 lecture 5中有一个m=1, b=4, k=5的弹簧阻尼系统，其初始值为$y(0)=1, y'(0)=0$, 其解为$y(t)=e^{-2t}(cost+2sint) $, 现在把它转化为极坐标形式，这一形式可以直观的看到振幅与周期、相位等重要特征。
$ cost+2sint=\sqrt{5}cos(t-\phi), \ tan\phi = 2, \ \phi \approx70^{\circ}$, 因此：
$$ y(t)=\sqrt{5}e^{-2t}cos(t-\phi) $$
如何解读这个系统？
$\phi$是phase lag，所以这是个稍微滞后一点的余弦函数，最重要的是，它的振幅是在不断下降，$A=\sqrt{5}e^{-2t}$ . 这个曲线的振荡范围就是正负A之间，因此可以用$ \pm\sqrt{5}e^{-2t} $ 两条曲线来预估余弦振荡的大概走势。
sinusoid 应用练习
弹簧-阻尼 练习1
分析这个spring-mass-dashpot系统: m=1, b=2, k=4.
ODE：$ \ddot{x}+2\dot{x}+4x=0 $
特征方程：$ r^2+2r+4=0 $，根：$ -1\pm \sqrt{3}i $
基本解：$ e^{(-1+\sqrt{3}i)t}，e^{(-1-\sqrt{3}i)t} $，实解：$ e^{-t}cos\sqrt{3}t，e^{-t}sin\sqrt{3}t $
一般实解：$ e^{-t}(c_1cos\sqrt{3}t+c_2sin\sqrt{3}t) $
阻尼频率：$ \omega_d=\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}=\sqrt{3} $
相邻过零点之间的时间间隔：$ 周期=2\pi /\sqrt{3} $，相邻两个过零点为半个周期，因此 $ 时间间隔=\pi /\sqrt{3} $ .
弹簧-阻尼 练习2
1. 振幅-相位模式的特解
物块质量m=1, 弹簧系数k=17/16, 阻尼系数b=1/2, 物块被拉到平衡位置右侧1米，并以一个0.75m/s的向右的速率被释放。求x(t)的振幅-相位表达式。$ x(t)=Ae^{-pt}cos(\omega t-\phi) $
题目给到的已知条件有：$ \ddot{x}+\frac{1}{2}\dot{x}+\frac{17}{16}x=0，\ \ x(0)=1, \dot{x}(0)=0.75 $ .
ODE的特征方程：$ r^2+\frac{1}{2}r+\frac{17}{16}=0 $, 方程有复数根 $ r=-\frac{1}{4}\pm i $ 。因此原DE的一般解为：
$$ e^{-\frac{1}{4}t}(c_1cost+c_2sint) $$
代入初值条件，得到 $ c_1=1, c_2=1 $ . 可得特解：$ e^{-\frac{1}{4}t}(cost+sint) $ ，转化为极坐标形式：$ \sqrt{2}e^{-\frac{1}{4}t}cos(t-\pi/4) $
2. 半衰期half-time
继续上题得到的解。令 $ \epsilon(t)=Ae^{-pt} $，$ \pm \epsilon(t) $ 就表示这个衰减正弦波的振幅函数。“不断衰减”的状态也是区别于纯正弦波的重要特征。 现在计算出振幅减半的时间“半衰期half-time"。
$ t_0=\epsilon(0)=A $，初识振幅也是最大振幅，上题已经得出 $ A=\sqrt{2}$ , 因此，需要计算的时间点就是 $ \epsilon(t)=\sqrt{2}/2 $ 所对应的t值。
$$ \epsilon(t)=\sqrt{2}e^{-\frac{1}{4}t}=\sqrt{2}/2 \ \Rightarrow \ t=ln(16)$$
3. Pseudo-period, pseudo-frequency and time lag
这里的 $\omega=1$, 所以周期等同于纯正弦波 $2\pi$, 频率就是周期的倒数。time lag $t_0=\phi /\omega = \pi/4 $ （利用等式：$ \omega t-\phi=\omega(t-t_0) $ ）。
4. 过零点
计算前四个过零点，即 $ x(t)=0$ 的前四个t的值(t>0)。
决定 $ x(t)=0$ 只能是其表达式中的cos的部分。$ cos(t-\pi/4)=0 \ \Rightarrow \ t-\pi/4=\frac{\pi}{2}+k\pi $，k为整数。因此 $ t=\frac{3}{4}\pi+k\pi $, 前四个值就是k=0,1,2,3时的四个值。
7 Damped Harmonic Oscillators 阻尼谐振子
阻尼谐振子
阻尼谐振子，是一个经常在物理学和工程学中讨论的概念。谐振子是指一个具有周期运动的系统，而阻尼则是指该系统受到的能量损耗或减振的过程。
$ \large 回顾总结 $
-
无阻尼情况
$m\ddot{x}+kx=0 , \ p(r)=mr^2+k \ \Rightarrow \text{roots: }\pm \sqrt{-k/m}=\pm i\omega, \omega=\sqrt{k/m} $
基本解：$ e^{i\omega t}, \ e^{-i\omega t}$， 实函数基本解：$ cos(\omega t), sin(\omega t)$ ,
一般解：$ c_1cos(\omega t)+c_2sin(\omega t)$符合这一微分方程的系统称为简谐振荡系统，$\omega$ 称为自然频率。
无阻尼的简谐振荡系统中的自然频率也被称为共振频率（resonant frequency）是因为在此频率下，系统对外部周期性激励呈现出最大的响应。
在一个无阻尼的简谐振荡系统中，当外部激励的频率与系统的自然频率相等时，振动幅度达到最大值。这是因为在自然频率下，激励力与系统的固有振动频率完全同步，能够与系统的振动周期性地增加系统的振幅。
- 带阻尼情况
$$ m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0 , \ p(r)=mr^2+k \ \Rightarrow \ \text{roots: }\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4mk}}{2m} $$
-
$ b^2<4mk $ ：欠阻尼，根为一对共轭复数 $-s\pm i\omega_d,\ s=b/2m$ (positive) ，此时的阻尼频率 $\large \omega_d=\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}$ (positive) . 对比上一个自然频率。
基本解：$ e^{(-s+i\omega_d)t}, \ e^{(-s-i\omega_d)t} $ ，实函数基本解：$ e^{-st}cos(\omega_d t), e^{-st}sin(\omega_d t)$
一般解：$\large e^{-st}(c_1cos(\omega_d t)+c_2sin(\omega_d t))$ .
显然，这是一个正弦函数与衰减指数的乘积，其中正弦函数也可以写成“振幅-相位”的形式。所有解具有趋向零的趋势，但不断变换正负号（如上面阻尼题目的图）。欠阻尼系统没有足够量的阻尼使振动彻底消弭。
阻尼系统不仅使的振幅逐渐衰减，频率也变化了，$\omega_d<\omega$ . -
$ b^2=4mk $ ：临界阻尼，根为重复的两个实根 $-\frac{b}{2m}, -\frac{b}{2m} $ ，用-s来代表。
基本解：$ e^{-st}, te^{-st} $
一般解：$ \large e^{-st}（c_1+c_2t) $
当 $ t\rightarrow \infty $ 时，$ e^{-st} $ 趋近零，$ te^{-st} $ 也趋近零。临界阻尼情况下，有刚刚好的阻尼使系统的振动消弭。 -
$ b^2>4mk $ ：过阻尼，此时的根显然是实数，并且均为负，因为根号下的部分必然小于b。将此时的两个根记为 $ -s_1, -s_2 $，则
一般解：$\large c_1e^{-s_1t}+c_2e^{-s_2t} $
当t趋近于无穷，所有解趋向零。过阻尼系统中，回归平衡点变得缓慢，因为阻尼过大。
比较三种情况下的解的曲线特征：
从三个解的形式可以看出x1是某欠阻尼系统的一个解；x2是个临界阻尼系统的一个解；x3是过阻尼系统下的一个解。比较这三个函数的曲线：
应用题1 船的摇晃
Recitation 7-3: Real life application: the rocking motion of a boat
定义船与水面的角度 $\theta$ , 这里用到了牛顿第二定律，之前用到的都是线性形式 $ ma=m\ddot{x}=F $，但这里需要用到旋转运动的表达形式，物体的转动惯量I（inertia 惯性）乘以物体的⻆加速度，等于作用于物体的力矩τ（torque 扭转力）， $ I\ddot{\theta}=\tau $ , 对于指定的船只，I是个常数，τ是关于$\theta$的函数。
视频完整文本及中文翻译
由于只关注很小范围内的旋转情况，这部分接近线性关系，所以取这段曲线原点部分的切线，作为近似的线性表达，-k是它的斜率。$ I\ddot{\theta}=\tau \sim -k\theta, \ \text{where k>0,}\ \theta \ll 1 $
将得到的τ的表达式，代回前面牛顿第二定律式子中，得到具有稳定平衡的船只运动的DE表达式：$ I\ddot{\theta}+k\theta=0 $ ，这个形式显然是简谐振荡的DE。我们知道周期 $ P=2\pi / \omega = 2\pi / \sqrt{\frac{k}{I}} $ 。这里把船的晃动视为简谐振荡，省略了阻尼项，船的实际运动振幅是在不断减小的，实际上应该有阻尼项。这里简化了，不过对于很小阶段内的摆动，目前这个式子已经足够表达船的运动。
但是不同形状的船并不一定总有稳定平衡。此时的斜率为正，DE表示为 $ I\ddot{\theta}-k\theta=0 $ ，给出初值，$ \theta(0)=0, \dot{\theta}(0)=c $ ，求这种情况下的特解（用k，I，c表示）。
$ \theta(t)=\frac{c}{2} \sqrt{I/k}\cdot e^{\sqrt{k/I}\cdot t}-\frac{c}{2} \sqrt{I/k}\cdot e^{-\sqrt{k/I}\cdot t} $
在不稳定平衡的情况下，平衡点附近的力矩会有一个正斜率，是因为当船只略微偏离平衡位置时，它会受到一个迎头方向的恢复力矩。这个正斜率意味着随着船只的偏离越来越大，恢复力矩也会越来越强，试图把船只推回平衡位置。
举个例子，假设我们将一个球放在山坡上。如果山坡曲线在球的平衡点附近朝下倾斜，球一旦离开平衡位置，重力就会使得球下滚，带来一个与偏离方向相反的恢复力矩。这个恢复力矩对应于力矩函数在平衡点附近有一个负斜率。
然而，如果山坡曲线在球的平衡点附近朝上倾斜，球一旦离开平衡位置，重力将推动球向下滚动，而这个恢复力矩将与偏离方向相同，试图使球继续远离平衡位置。这个情况下的恢复力矩对应于力矩函数在平衡点附近有一个正斜率。
因此，在不稳定平衡的情况下，力矩函数的斜率为正，表示了力矩的方向与偏离方向相同，试图进一步推动系统脱离平衡。这样的不稳定平衡将导致船只在进入水中时倾斜到一侧，增加倾覆的风险。
用这个图表估算k/I的比值。
周期P约为2，由于 $ P=2\pi/\omega=2 $ ,可知 $ \pi=\omega $ 。之前的无阻尼系统中已经总结过，自然频率 $ \omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{k/I} $ ，由此可知， $ k/I=\pi^2 $ 。